在未经许可情况下擅自砍伐他人私有的林木，该行为有可能被视为触犯刑事法律条款下的盗窃罪。
具体判刑结果将取决于涉案林木的经济价值、数量以及犯罪行为的具体情节等多方面因素进行综合考量。
通常而言，若涉及金额较大或存在多次盗窃行为，则将面临三年以下有期徒刑、拘役或者管制的惩罚，同时还需承担相应的罚金；
若涉案金额巨大或存在其他严重情节，则将面临三年以上十年以下有期徒刑的惩罚，同样需要承担罚金；
而对于涉案金额特别巨大或存在其他特别严重情节者，则将面临十年以上有期徒刑甚至是无期徒刑的严厉惩罚，并且还需承担罚金或者没收财产的责任。

《中华人民共和国刑法》第二百六十四条
【盗窃罪】盗窃公私财物，数额较大的，或者多次盗窃、入户盗窃、携带凶器盗窃、扒窃的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制，并处或者单处罚金；数额巨大或者有其他严重情节的，处三年以上十年以下有期徒刑，并处罚金；数额特别巨大或者有其他特别严重情节的，处十年以上有期徒刑或者无期徒刑，并处罚金或者没收财产。