根据法律规定，公安机关对犯罪嫌疑人采取刑事拘留的时间上限为37日。
在这段宝贵的37日中，可能会产生如下几种情形：
首先，若公安机关确认其所掌握的犯罪证据材料已经足够扎实，他们会按照程序向检察院提出申请，请求检察机构审批该批捕的申请事宜。
待到检察院进行详细的案件审查之后，如若认为该犯罪行为人的证据确凿且确实需要逮捕，便会做出批准逮捕的决议，此时案件将进入正式的侦查阶段。
反之，倘若经过严密审查，检察院认定证据还不够充分或案件情节极其轻微，或许不会给予逮捕的许可，那么公安机关将面临两种选择：
释放犯罪嫌疑人，更改原本的强制措施为取保候审或监视居住；
或是继续深入调查，增加新的证据以加强指控力度。
然而值得注意的是，虽然37天的期限在很大程度上影响了案情的走向与解决方式，但其并非绝对保证能够得出明确结果的期限，具体的决策仍需综合考虑案件的复杂程度、各类呈堂证供等丰富多样的因素才能做出更为准确的判决。