在刑事拘留期限已达37天之际，可能出现以下四种大致情形。
首先，如果公安机关认定其所掌握的犯罪证据充足确凿，则将启动流程提请检察院核准并批准犯罪嫌疑人的逮捕请求；
其次，倘若经过检察院严谨且细致的审查之后，仍旧认为有必要对犯罪嫌疑人进行逮捕，那么该院便会作出批准逮捕的决定，同时，案件的调查进程也将得以继续推进。
然而，若检察院经过审查后认定证据不足以支撑逮捕或认为不应实施逮捕，公安机关将会采取相应的强制措施加以改变，例如提出申请让犯罪嫌疑人获得取保候审的权利，或是采取监视居住的方式。
最后一种可能的情况是，公安机关在调查过程中发现不应当再追究刑事责任，于是他们可能会撤回案件，并释放被拘留的人员。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十一条
【提请批捕和审查批捕的时限】公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。
对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。
人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。人民检察院不批准逮捕的，公安机关应当在接到通知后立即释放，并且将执行情况及时通知人民检察院。对于需要继续侦查，并且符合取保候审、监视居住条件的，依法取保候审或者监视居住。