倘若刑事案件中的犯罪嫌疑人被羁押了37天后，公安机关判定其行为确需法律予以严惩与制裁，需要将其逮捕并加以妥善安置，则该部门应立即向检察院提出正式申请，请求进行逮捕获准流程。
在此过程中，检察院将会对案件的详实资料和各方面的信息，如证据的真实性和犯罪的具体情节等进行细致且严谨的审阅分析。
一旦发现犯罪嫌疑人的罪行已达到逮捕的标准，检察院将会下达批准逮捕的指令；
然而若发现证据尚有缺失，或是对其进行逮捕并不符合法定程序，检察院便有可能作出不予批准逮捕的决策。
无论是批准还是驳回逮捕申请，都应当在检察院的授权下由公安机关执行逮捕，并且必须在24小时之内将此消息通知到犯罪嫌疑人的亲属。
随后，案件将进入更为深入的调查阶段，以期能够获取更多的证据来支持起诉。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第八十七条
【提请逮捕】公安机关要求逮捕犯罪嫌疑人的时候，应当写出提请批准逮捕书，连同案卷材料、证据，一并移送同级人民检察院审查批准。必要的时候，人民检察院可以派人参加公安机关对于重大案件的讨论。