根据刑事法律的相关规定，刑事拘留作为一项强制措施，其后续步骤通常由公安机关依照法定程序进行进一步的侦查活动。
若公安部门觉察到有必要对嫌犯实施逮捕，他们将依法向检察院提出申请并请求批准。
检察院将会在相应期限内，依据严格的审理标准，基于案件证据资料，审核此案是否应最终提请逮捕嫌犯。
若经过检察机关深入评估，决定对嫌犯批准逮捕，那么，该案件将被移交于公安机关继续展开侦查工作。
反之，若检察机关未作出批准逮捕的决定，公安机关收到正式通知之后应立即释放犯罪嫌疑人，并且需将落实释放情况及时通告检察院知晓。
至于那些尚需进一步侦查，同时又符合取保候审及监视居住条件的案件，则应根据相关法律法规，依法执行取保候审或监视居住措施。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第八十七条
【提请逮捕】公安机关要求逮捕犯罪嫌疑人的时候，应当写出提请批准逮捕书，连同案卷材料、证据，一并移送同级人民检察院审查批准。必要的时候，人民检察院可以派人参加公安机关对于重大案件的讨论。