在触犯了盗窃罪的情况下，若主动前往公安部门投案并交代相关实情，那么公安局将会依据案件的特定性质及具体细节来做出把犯罪嫌疑人押送到拘留所的决策。
通常而言，如果相关案件涉及的事实相对明确且能够得到充足的证据支持的话，大概率将在较短时间内完成押送至拘留所的流程。
然而，如果案件的复杂程度较高，或者需要更深入地进行调查与取证工作，则可能导致押送时间的延误。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第八十六条
【拘留的期限】公安机关对被拘留的人，应当在拘留后的二十四小时以内进行讯问。在发现不应当拘留的时候，必须立即释放，发给释放证明。