在涉及开设赌场罪名并被拘役满37天之后，接下来可能会发生的情况包括但不仅限于下列几种：若警方判定其犯罪相关证据确凿充分，将依法致函检察机关申请签发逮捕令；
若是证据不足或者情节轻微，则可能会依据法律法规调整相应司法手段以达到取保候审或监视居住的目的。
在此过程中，检察机关将慎重审核此案所有相关资料，进而做出是否签发逮捕令的决策。
倘若检察机关批准签发逮捕令，那么该名犯罪嫌疑人家属应继续遵守相关法律法规，保障嫌疑人权益；
反之，若检察机关未批准签发逮捕令，公安机关将立刻释放该名犯罪嫌疑人。
如需继续调查取证，公安机关也有权根据具体情况适时调整司法手段。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十一条
【提请批捕和审查批捕的时限】公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。
对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。
人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。人民检察院不批准逮捕的，公安机关应当在接到通知后立即释放，并且将执行情况及时通知人民检察院。对于需要继续侦查，并且符合取保候审、监视居住条件的，依法取保候审或者监视居住。