当犯罪人员触犯法律并遭受了刑事拘留之后，送往看守所接受进一步司法处理的过程中，其步骤和程序通常包含以下几个方面：
首先，根据规定，公安机关负责于对犯罪嫌疑人实施拘留后的最短时间内即24小时之内，对其实施必要的讯问侦查，以查明案件真相。
若经调查确认拘留不当，公安机关将立即释放该名犯罪嫌疑人，并向其发放相应的释放证明文件。
其次，如公安机关经过严密审慎的判断，认为有必要对已被拘留的犯罪嫌疑人采取逮捕措施，则应在拘留期限结束前的三日内，向人民检察院提交申请，请求对该项申请进行审查批准。
在某些特定情况下，例如犯罪嫌疑人具有流窜作案、多次作案或结伙作案等严重情节时，公安机关可将提请审查批准的时间延长至一至四天。
而对于重大嫌疑分子，公安机关可将提请审查批准的时间延长至30日。
最后，人民检察院在收到公安机关提交的书面申请后，应该在第七个工作日内做出是否批准逮捕的决定。
作出决定后，人民检察院会致电公安机关相关部门，告知其结果。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第八十六条
【拘留的期限】公安机关对被拘留的人，应当在拘留后的二十四小时以内进行讯问。在发现不应当拘留的时候，必须立即释放，发给释放证明。