根据法律规定，刑事拘留期之后发生的补充侦查通常都出现在获取逮捕决议的相关阶段里。
现行公安局若认为拘留对象需依法逮捕，应在收到拘留证后的三个自然日内，向上一层级的人民检察院提交批准申请。
针对特别案件，可适当延长审批时间，但最长延至四天。
同时，对那些涉及流窜作案、屡次作案以及团伙作案的重大犯罪嫌疑人，其审批期限则可延展到三十天。
在此过程中，人民检察院须在接收到公安机关提交的批准逮捕申请书后的七个自然日内，针对逮捕问题做出最终决定。
如人民检察院未批准逮捕，公安局则应该在得到通知后尽快给予被拘留者自由，并向人民检察院通报执行情况。
对于部分案件需要进一步侦查且符合取保候审或监视居住条件的，需按照法规定定程序予以办理。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十一条
【提请批捕和审查批捕的时限】公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。
对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。
人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。人民检察院不批准逮捕的，公安机关应当在接到通知后立即释放，并且将执行情况及时通知人民检察院。对于需要继续侦查，并且符合取保候审、监视居住条件的，依法取保候审或者监视居住。