依据《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十一条明文规定，倘若公安机关认定其拘留的某位人士存在必须予以逮捕之必要，那么他们应当在这位人士被拘留之后的三日内，向上诉法院提交申请，由法院进行审查并决定是否批准该请求。
若有特殊情况，例如调查过程中的延迟或其他不可抗力因素导致的延期，则可将申请延长一日至四日。
然而，对于那些游走于各地并屡次犯下罪行、以及构成团伙犯罪的重大嫌疑人，申请审查和批准的期限最多可延长到三十天。
当检察官收到来自公安机关的申请后，需要在七日内做出是否批准逮捕的决定。
因此，法律允许的刑事拘留最长期限为三十天再加上七天，也就是总共三十七天。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十一条
公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。
对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。
人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。人民检察院不批准逮捕的，公安机关应当在接到通知后立即释放，并且将执行情况及时通知人民检察院。对于需要继续侦查，并且符合取保候审、监视居住条件的，依法取保候审或者监视居住。