依照《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十一条之规范，当公安机关对被拘留人员持有必要的逮捕依据时，应于拘留期限届满之日起的三个自然日内，向人民检察院提交审查批准申请。
然而，在某些特定情形下，该申请的提交期限可适当延长一天至四天。
对于那些流窜作案、多次作案以及结伙作案的重大犯罪嫌疑人而言，其审查批准申请的提交期限则有可能延长至三十天。
人民检察院在收到公安机关提交的审查批准逮捕申请书之后，应在七个自然日内作出批准逮捕或不予批准逮捕的决定。
因此，在一般的情况下，涉嫌盗窃罪而被刑事拘留的人员，其审查批准申请的提交期限通常为三个自然日内，特殊情况下可延长至四天，而对于重大犯罪嫌疑人来说，其提交期限则有可能延长至三十天。
人民检察院将在收到公安机关提交的审查批准逮捕申请书之后的七个自然日内作出最终决定。
因此，被拘留人员及其亲属有望在拘留期限结束后的十个自然日内（不考虑特殊或重大犯罪嫌疑人的情况）或三十个自然日内（仅针对重大犯罪嫌疑人）得知是否获得批准逮捕的结果。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十一条
公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。
对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。
人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。人民检察院不批准逮捕的，公安机关应当在接到通知后立即释放，并且将执行情况及时通知人民检察院。对于需要继续侦查，并且符合取保候审、监视居住条件的，依法取保候审或者监视居住。