依据《中华人民共和国刑法诉讼法》第85条之规定，县级司法机关在实施拘留行动时，务必向被拘禁者出示相应的拘留许可证，且于拘留行为发生之时起，应立即将其送往指定看守所关押，直至24个小时内完成该项工作。
除非出现无法通知或涉嫌危害国家安全犯罪、恐怖活动犯罪等情况，导致通知可能对侦查产生阻碍，否则应在拘留行为发生之后的24小时之内，通知被拘留者的亲属。
若上述情况得以消除，则应立即通知被拘留者的亲属。
因此，刑事拘留的执行过程应在县级司法机关出示拘留许可证后，立即将被拘留者送往看守所关押，并在规定的时间内通知其亲属。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第八十五条
公安机关拘留人的时候，必须出示拘留证。
拘留后，应当立即将被拘留人送看守所羁押，至迟不得超过二十四小时。除无法通知或者涉嫌危害国家安全犯罪、恐怖活动犯罪通知可能有碍侦查的情形以外，应当在拘留后二十四小时以内，通知被拘留人的家属。有碍侦查的情形消失以后，应当立即通知被拘留人的家属。