依据《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十一条明文载定，公安司法机关对已实施拘留措施的嫌犯，若认为其必须加以逮捕，则应于拘留之日起三日内向上一级人民检察机关提交审查审批申请。
在特定情形下，申请审查批捕的时限可延长一天至四天之久。
针对那些流窜犯案、重复犯罪以及团伙性质的重大犯罪嫌疑人，他们所提出的审查批捕请求时限可进一步延长至三十天。
上一级人民检察机关应在收到公安机关提交的审查批捕申请书后的七日内，做出批准逮捕或不予批准逮捕的决定。
若人民检察机关未予批准逮捕，公安机关应在接获通知后立即释放相关人员，同时将执行情况及时通报给人民检察机关。
如需继续进行侦查工作，且符合取保候审、监视居住条件者，依法对其实施取保候审或监视居住。
因此，倘若某位人士遭刑事拘留长达一个月之后，公安机关应根据案件的实际情况，决定是否向人民检察机关提交审查批捕申请。
若人民检察机关批准逮捕，则将启动逮捕程序；
反之，若人民检察机关未予批准逮捕，公安机关应依法释放被拘留之人，并根据实际情况决定是否采取取保候审或监视居住等其他措施。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十一条
公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。
对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。
人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。人民检察院不批准逮捕的，公安机关应当在接到通知后立即释放，并且将执行情况及时通知人民检察院。对于需要继续侦查，并且符合取保候审、监视居住条件的，依法取保候审或者监视居住。