依据我国《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十一条明确指出，公安部门若认定某位被拘留人员需要进行逮捕处理时，应于该拘留期结束后的三日内提请相应的人民检察院进行审查和批准。
如遇特殊情况，可适当延长提请审查批准的时间至多四天。
而针对那些流窜作案、多次作案以及结伙作案等重大嫌疑人而言，其提请审查批准的时间更是可以延长至长达三十天之久。
值得注意的是，人民检察院在收到公安机关提交的批准逮捕申请书之后，必须在七日内做出是否批准逮捕的决定。
若人民检察院未能批准逮捕，公安部门则需在接获通知后立即释放被拘留者，同时向人民检察院报告该执行情况。
若是需要进一步展开侦查工作且符合取保候审、监视居住的条件，公安部门也应依照法定程序实施取保候审或者监视居住。
可见，倘若某位人士遭到刑事拘留达半个月之久，即已超出一个月的界限，这很可能涉及到违反上述法律规定的问题。
根据第九十一条的规定，拘留期限应在人民检察院作出批准逮捕决定后的期限内予以计算，若超过此期限，则应依法采取取保候审或者监视居住措施。
若公安部门未能在规定时间内向人民检察院提出审查批准逮捕请求，或者人民检察院未能在规定时间内做出决定，那么拘留期限便应暂停计算，直至相关程序全部完成为止。
若拘留期限超越法律规定，被拘留者或其辩护律师有权要求公安部门解释情况，并依法申请取保候审或监视居住。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十一条
公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。
对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。
人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。人民检察院不批准逮捕的，公安机关应当在接到通知后立即释放，并且将执行情况及时通知人民检察院。对于需要继续侦查，并且符合取保候审、监视居住条件的，依法取保候审或者监视居住。