依据我国《中华人民共和国刑事诉讼法》第八十二条之明文规定，公安机构在特定状况之下具有权力对现行犯或是重大嫌疑人员实施先行拘留。这种情况一般包含以下几个方面：正处于准备犯罪阶段、正在进行犯罪行为、已经被觉察到涉嫌犯罪、被指认为是犯罪嫌疑人、发现了犯罪证据、出现试图自尽出逃、销毁伪造证据或串供、身份尚未明确以及存在流窜作案、多次作案、团伙犯罪重大嫌疑等。因此，当警方在处理案件过程中，若遇到了以上所述的任何一种情况，都有权依法行使刑事拘留权。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第八十二条
公安机关对于现行犯或者重大嫌疑分子，如果有下列情形之一的，可以先行拘留：
（一）正在预备犯罪、实行犯罪或者在犯罪后即时被发觉的；
（二）被害人或者在场亲眼看见的人指认他犯罪的；
（三）在身边或者住处发现有犯罪证据的；
（四）犯罪后企图自杀、逃跑或者在逃的；
（五）有毁灭、伪造证据或者串供可能的；
（六）不讲真实姓名、住址，身份不明的；
（七）有流窜作案、多次作案、结伙作案重大嫌疑的。