依据《中华人民共和国刑事诉讼法》之第一百三十六条明文规定，若侦查人员在搜集犯罪证据及缉捕犯罪分子过程中，认为有必要对犯罪嫌疑人和可能隐匿罪犯或者犯罪证据者的身体、财产、居所以及其他相关场所实施搜查措施，便可依法进行。因此，当某位人士被依法拘押并引起警方怀疑可能存在与犯罪行为相关的证据或线索时，他们有权对该名被拘押者的住所进行搜查。然而，搜查活动应严格遵守相关法律程序，如需出示搜查令等合法文件。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第一百三十六条
为了收集犯罪证据、查获犯罪人，侦查人员可以对犯罪嫌疑人以及可能隐藏罪犯或者犯罪证据的人的身体、物品、住处和其他有关的地方进行搜查。