依据《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十一条的明文规定，当公安机关在拘禁某位涉嫌犯罪人员时，若认为有必要进行逮捕，必须在正式拘禁其三日后之内，向当地人民检察院提出相应申报并请求遵照严格审核程序的批准。然而，若遇到特别紧急情况或困难条件，提请审查批准的期限可适当延长一日至四日。对于那些流窜作案、多次作案以及结伙作案的重要嫌疑人员，提请审查批准的时间则可进一步延长至三十日。在此期间内，人民检察院应在接到公安机关提交的批准逮捕申请书之后的七日内，做出是否批准逮捕的最终决定。因此，在符合相关法律规定的前提下，刑事拘留的最长期限可达37天（即3天的拘留期+30天的审查批准期+7天的检察院决定期）。然而，实际拘留天数仍需根据具体案件情况及法律规定进行确定。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十一条
公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。
对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。
人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。人民检察院不批准逮捕的，公安机关应当在接到通知后立即释放，并且将执行情况及时通知人民检察院。对于需要继续侦查，并且符合取保候审、监视居住条件的，依法取保候审或者监视居住。