涉嫌非法吸收公众存款罪的业务员，即非吸业务员，其被拘留在看守所的时间原则上不应超过三十七日。这是由于我国《中华人民共和国刑事诉讼法》明确规定，公安机关在对犯罪嫌疑人实施逮捕之后进行的侦查羁押期限最多不可超过两个月；而如果案件情节复杂或者在期满之后仍无法得出结论的，可根据上级人民检察院的审批决定适当延长一个月的侦查期。然而，若该犯罪嫌疑人可能会面临十年有期徒刑以上的严厉处罚，则需经过省级人民检察院的批准，方可再次延长两个月的侦查期。但是，在侦查过程中如发现犯罪嫌疑人存在其他重大犯罪行为的，则应将侦查羁押期限重新计算。因此，一般的情况下，犯罪嫌疑人在看守所内度过的第一阶段拘留期限为三十七日。

《中华人民共和国刑事诉讼法》
第一百五十六条　对犯罪嫌疑人逮捕后的侦查羁押期限不得超过二个月。案情复杂、期限届满不能终结的案件，可以经上一级人民检察院批准延长一个月。
第一百五十七条　因为特殊原因，在较长时间内不宜交付审判的特别重大复杂的案件，由最高人民检察院报请全国人民代表大会常务委员会批准延期审理。