在刑事拘留期间，犯罪嫌疑人或者其辩护律师在某些特定状况下，具有权利申请调阅监控录像。根据我国《中华人民共和国刑事诉讼法》的明确规定，在案件调查阶段，辩护律师享有阅览、选取、复印本案所有相关档案资料的权力。假如监控录像被视为该案的关键证据，那么辩护律师有权依照法定程序提出阅览请求。除此之外，倘若犯罪嫌疑人有充分的理由对自身的合法权益可能遭受侵犯产生疑虑，同样可以依法申请调阅监控录像。然而，具体的申请流程以及所需满足的条件，则需依据案件的实际情况以及相关法律法规进行实施。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第三十九条
辩护律师可以同在押的犯罪嫌疑人、被告人会见和通信。其他辩护人经人民法院、人民检察院许可，也可以同在押的犯罪嫌疑人、被告人会见和通信。辩护律师持律师执业证书、律师事务所证明和委托书或者法律援助公函要求会见在押的犯罪嫌疑人、被告人的，看守所应当及时安排会见，至迟不得超过四十八小时。