根据相关法律规定，犯罪嫌疑人被依法刑事拘留之后，侦查机关应在拘留期满后的第三个工作日之内向人民检察院提交书面申请，申请批准逮捕该嫌疑人。在此过程中，若存在特殊情况，经上级部门审批后，申请期限可适当延长，延长时间不超过一到四个工作日。针对那些流窜作案、犯案次数较多及涉及有组织犯罪的重大嫌疑分子而言，其逮捕申请期限则可延长至三十个工作日。待批准逮捕手续完成之后，案件将正式进入侦查程序。从人民检察院开始对案件进行审查起诉的那一天起，辩护律师就有权查阅、摘抄和复制案件的全部案卷材料了。因此，通常情况下，犯罪嫌疑人及其家属能够接触到案卷材料的时间大概会在刑事拘留后约一个月左右，但这需要以检察院开始审查起诉作为起点。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第三十九条
辩护律师可以同在押的犯罪嫌疑人、被告人会见和通信。其他辩护人经人民法院、人民检察院许可，也可以同在押的犯罪嫌疑人、被告人会见和通信。辩护律师持律师执业证书、律师事务所证明和委托书或者法律援助公函要求会见在押的犯罪嫌疑人、被告人的，看守所应当及时安排会见，至迟不得超过四十八小时。