依据我国《中华人民共和国刑事诉讼法》第三十四条的立法宗旨，犯罪嫌疑人身处自被侦查机关进行首次提问或是采取了强制性手段之日起，就已经享有了向辩护律师寻求援助的权利。在此背景下，倘若家人因涉嫌开设赌场罪而遭受到刑事拘留，那么他们就有资格委托律师作为自己的辩护人。在侦查阶段，律师将能够为家人提供全面的法律支持和援助，以保护他们的合法权益，其中包括但不仅限于辩护权、调查取证权等方面。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第三十四条犯罪嫌疑人自被侦查机关第一次讯问或者采取强制措施之日起，有权委托辩护人；在侦查期间，只能委托律师作为辩护人。被告人有权随时委托辩护人。
侦查机关在第一次讯问犯罪嫌疑人或者对犯罪嫌疑人采取强制措施的时候，应当告知犯罪嫌疑人有权委托辩护人。人民检察院自收到移送审查起诉的案件材料之日起三日以内，应当告知犯罪嫌疑人有权委托辩护人。人民法院自受理案件之日起三日以内，应当告知被告人有权委托辩护人。犯罪嫌疑人、被告人在押期间要求委托辩护人的，人民法院、人民检察院和公安机关应当及时转达其要求。
犯罪嫌疑人、被告人在押的，也可以由其监护人、近亲属代为委托辩护人。
辩护人接受犯罪嫌疑人、被告人委托后，应当及时告知办理案件的机关。”