若犯罪嫌疑人或者被告在被羁押的看守所内不幸去世，他们的家人便有权利依照《中华人民共和国刑事诉讼法》中的第三十四条明文规定，向侦查机关、人民检察院以及人民法院请求告知其有拥有聘请辩护人的权力。倘若在押期间，犯罪嫌疑人或被告提出了委托辩护人的请求，上述各机关应立即将其请求传达给相关人员。
此外，根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的第一百五十九条规定，家属也可密切关注案件的侦查进展情况。若侦查期限已届满，而案件却尚未侦查终结，家属有权要求相关部门依法申请延长侦查期限。在处理此类情况时，家属务必及时寻求律师的帮助，以获取专业的法律援助及保护。律师可作为家属的代表，与相关机构进行有效沟通，确保家属的合法权益得以充分尊重并得到切实保障。
同时，律师亦可根据案件的实际情况，依法提出辩护意见，全力维护犯罪嫌疑人的合法权益。家属需积极搜集并妥善保存所有与案件有关的证据和信息，以便在需要时能够派上用场。
另外，家属必须严格遵守法律程序，通过合法途径表达自身的诉求和关切。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第三十四条犯罪嫌疑人自被侦查机关第一次讯问或者采取强制措施之日起，有权委托辩护人；在侦查期间，只能委托律师作为辩护人。被告人有权随时委托辩护人。
侦查机关在第一次讯问犯罪嫌疑人或者对犯罪嫌疑人采取强制措施的时候，应当告知犯罪嫌疑人有权委托辩护人。人民检察院自收到移送审查起诉的案件材料之日起三日以内，应当告知犯罪嫌疑人有权委托辩护人。人民法院自受理案件之日起三日以内，应当告知被告人有权委托辩护人。犯罪嫌疑人、被告人在押期间要求委托辩护人的，人民法院、人民检察院和公安机关应当及时转达其要求。
犯罪嫌疑人、被告人在押的，也可以由其监护人、近亲属代为委托辩护人。
辩护人接受犯罪嫌疑人、被告人委托后，应当及时告知办理案件的机关。”
《中华人民共和国刑事诉讼法》第一百五十九条对犯罪嫌疑人可能判处十年有期徒刑以上刑罚，依照本法第一百五十八条规定延长期限届满，仍不能侦查终结的，经省、自治区、直辖市人民检察院批准或者决定，可以再延长二个月。”