按照我国现行法律规定，公安机关在对犯罪嫌疑人采取刑事拘留措施之后，通常应该在30天以内依法向人民检察院提交审查批准逮捕的申请。
然而，若案情较为复杂特殊，那么这一期限可适当予以延长，但最长不能超过37天。一旦人民检察院作出了逮捕的决定，侦查机关就必须在逮捕执行之日起的两个月之内完成侦查工作，并形成起诉意见书，然后将其移交给人民检察院进行审查起诉。
然而，需要注意的是，以上所述并非绝对的期限，实际的办案时间可能会因为案件的复杂性和难度而有所变动。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第一百五十六条：“对犯罪嫌疑人逮捕后的侦查羁押期限不得超过二个月。案情复杂、期限届满不能终结的案件，可以经上一级人民检察院批准延长一个月。”
第一百六十九条：“人民检察院对于公安机关移送起诉的案件，应当在一个月以内作出决定，重大、复杂的案件，可以延长半个月。”