在涉嫌犯故意伤害罪的嫌疑人被关押于看守所之后，他们通常需要经历如下几个关键环节：
首先是立案侦查阶段，在此期间，公安机关将对相关案件展开深入细致的调查工作，并积极搜集各种有力的证据；
其次，若公安机关认为存在逮捕必要性，便会依法向检察院提出申请，请求批准逮捕；紧接着，检察院将对该申请进行严格的审查，并最终决定是否予以批准逮捕；随后，公安机关在完成了所有的侦查工作后，将会把案件移交至检察院；接下来，检察院在确认存在犯罪事实并且应当追究其刑事责任的情况下，将向法院正式提起公诉；
最后，法院将公开审理此案，被告人享有充分的辩护权，并根据事实与法律作出最终判决，确定相应的刑罚。

《中华人民共和国刑事诉讼法》
第十八条刑事案件的侦查由公安机关进行，法律另有规定的除外。
第七十九条对有证据证明有犯罪事实，可能判处徒刑以上刑罚的犯罪嫌疑人、被告人，采取取保候审尚不足以防止发生社会危险性的，应当予以逮捕。
第一百六十二条公安机关侦查终结的案件，应当做到犯罪事实清楚，证据确实、充分，并且写出起诉意见书，连同案卷材料、证据一并移送同级人民检察院审查决定。