根据我国《刑法》和《刑事诉讼法》的相关规定，若因涉嫌参与暴力冲突而被羁押的罪犯，其最长期限可达37天。此项规则的依据在于，当公安机构执行拘留罪犯的任务时，应当于24个小时之内通知其家人，同时在拘留完成之后的三日内，将案件提交给人民检察院进行审查批捕。倘若人民检察院未能在七日内做出决定，公安机构则有权将拘留期延长一日至四日。对于那些流窜作案、多次作案以及结伙作案的重大嫌疑犯人，他们的审查批捕期限可以延长至30日。再加上人民检察院审批的时间，总计可能会达到37天之久。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十一条：
公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。
对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。
人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。