依据现行法律规定，犯罪嫌疑人被依法采取刑事拘留措施之后，公安机关通常需在拘留期限满30日内提请人民检察院批准逮捕请求；而人民检察院则需要在接收到相关请求以及案卷材料后的7个工作日内对其作出审查批捕的裁定。但若案件自身情况较为复杂，公安机关与人民检察院均有权将上述期限各延长1至4个工作日。特别值得注意的是，对于那些流窜作案、多次作案或者结伙作案的重大犯罪嫌疑人，公安机关的拘留期限可延长至37天。这一期限主要用于公安机关对犯罪嫌疑人展开深入调查，并根据调查结果决定是否向人民检察院提出逮捕请求。在此之后，案件可能会进入到审查起诉及审判等后续环节，每一环节也都有相应的法定办案期限。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第八十九条
公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。
对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。
人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。