当律师赴看守所对被羁押的犯罪嫌疑人或被告人进行探视时，他们所需承担的费用通常包括两部分，即律师费用与看守所得费用。
其中，律师费用的高低往往取决于案件的性质、复杂程度以及代理律师的收费标准等多重因素；
至于看守所得费用，则可能涵盖了一些固定的费用项目，如会见室使用费，以及可能产生的额外通讯费用等等。关于具体的费用构成及金额，建议您向相关的律师事务所或者监管部门进行详细咨询。
值得注意的是，虽然律师会见犯罪嫌疑人或被告人的费用可能会受到律师协会或其他相关法律法规的指导性规定的约束，但是在实际操作中，各个地区和律所的收费标准可能存在差异。

《中华人民共和国律师法》第三十三条
律师担任辩护人的，有权持律师执业证书、律师事务所证明和委托书或者法律援助公函，依照刑事诉讼法的规定会见在押或者被监视居住的犯罪嫌疑人、被告人。辩护律师持律师执业证书、律师事务所证明和委托书或者法律援助公函要求会见在押的犯罪嫌疑人、被告人的，看守所应当及时安排会见，至迟不得超过四十八小时。
危害国家安全犯罪、恐怖活动犯罪案件，在侦查期间辩护律师会见在押的犯罪嫌疑人，应当经侦查机关许可。上述案件，侦查机关应当事先通知看守所。
辩护律师持律师执业证书、律师事务所证明和委托书或者法律援助公函要求会见在押的犯罪嫌疑人、被告人的，看守所应当及时安排会见，至迟不得超过四十八小时。