依据我国《中华人民共和国刑事诉讼法》之规定，对于实施了聚众斗殴行为情节严重者，公安部门有权给予其三十七日内的刑事拘留处罚。换言之，在这个期限之内，公安机关有权利对涉嫌犯罪的相关人员进行拘留，并需在拘留后的二十四小时内，向其家属发出书面通知。
然而，在案件的侦查阶段，拘留期限最长可达三十天；若在此期间内，检察机关未能批准逮捕，公安机关则有权申请延长拘留时间，最多可延长至四日。而对于那些流窜作案、多次作案以及结伙作案的重大嫌疑分子，拘留期限更可延长至三十七天。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第八十九条
公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。