在交通肇事行为触犯刑法的情况下，犯罪嫌疑人将被处以刑事拘留。
在经过三日拘留后，警方应在规定期限内提请人民检察院进行批准逮捕，如遇特殊原因，提请审查批准逮捕的期限可延长至四日以内。
若警方在调查过程中认为存在必要条件，则可以将审查批准逮捕的期限延长至三十日。
而负责审批的人民检察院则需要在七日内完成对逮捕申请的审查工作。
因此，从刑事拘留开始至最终获得批准逮捕，整个流程共计三十七日。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十一条
公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。
在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。
对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。
人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。
人民检察院不批准逮捕的，公安机关应当在接到通知后立即释放，并且将执行情况及时通知人民检察院。
对于需要继续侦查，并且符合取保候审、监视居住条件的，依法取保候审或者监视居住。