当家暴过程中使用刀砍伤他人时，所面临的法律惩罚情况如下：
若砍伤他人造成了轻伤及以上的伤害，那就涉嫌触犯了故意伤害罪。
这种情况下，将会被处以三年以下的有期徒刑、拘役或者管制。
要是导致他人重伤，那么刑期会在三年以上十年以下。
而如果是致人死亡，或者是以特别残忍的手段致使他人重伤并造成严重残疾，处罚将是十年以上的有期徒刑、无期徒刑甚至死刑。
即便砍伤他人的程度未达到轻伤，但也可能构成违反治安管理的行为。
此时，会被处以五日以上十日以下的拘留，同时并处二百元以上五百元以下的罚款。
要是情节相对较轻，那么处罚就是五日以下的拘留或者五百元以下的罚款。
与此同时，受害人有权利提起刑事附带民事诉讼，向加害者要求赔偿因受伤而产生的医疗费、护理费、误工费等各类损失。
此外，家暴行为还可能会涉及到其他的法律责任，比如民事赔偿责任等。
具体的处罚结果需要依据案件的实际情况来进行确定。

案情回顾:

小朱和小李是夫妻关系。一次激烈的家暴过程中，小朱情绪失控拿起刀砍向小李。小李受伤后经鉴定为轻伤。小朱称是小李先挑衅，自己才冲动为之，小李则表示小朱经常有家暴倾向。双方对于小朱是否应受严厉惩罚存在争议。

案情分析:

1、由于小李经鉴定为轻伤，小朱涉嫌触犯故意伤害罪，可能面临三年以下有期徒刑、拘役或者管制。
2、小李作为受害人，有权利提起刑事附带民事诉讼，要求小朱赔偿医疗费、护理费、误工费等各类损失。
3、小朱称小李先挑衅，这不能成为免责理由，因为在任何情况下都不应使用暴力伤害他人。