对于一位16岁的青少年持刀行凶的案件，对其进行法律判决需要考虑多方面的因素，这些因素涉及到伤害产生的后果（是轻伤、重伤还是导致被害人丧生）、犯罪行为的起因、犯罪者主观上的恶性程度以及是否有潜逃罪行或自首等可能的量刑情节。
若仅造成被害人轻伤，那么这位16岁的少年可能会被认定为犯下故意伤害罪行，并将面临三年以下有期徒刑、拘役或者管制的刑事惩罚。
如果行凶者导致了被害人重伤，其承担的刑罚将会在三年以上十年以下有期徒刑这个范围内；
假如被害人因此宣告不治或者是使用极端残忍手段使被害人遭受足以造成严重残疾的重伤，这位16岁的少年则可能会被判处十年以上有期徒刑、无期徒刑甚至死刑。
然而，他作为一名已然成年但不满十八周岁的未成年人，理应获得法律给予的从轻或者减轻处罚。
此外，积极地向受害者作出赔偿、争取得到受害者的谅解等行为，也会对最终的量刑结果产生一定的影响。
总而言之，对于这起案件的具体量刑，必须根据案件的实际情况，经过法院全面深入的审查和衡量之后才能做出公正的裁决。