当涉嫌故意伤害罪的当事人遭致刑事拘留后，一般情况下是无法通过私下解决来解决问题的。
这是因为此类案件被归类于公诉案件类别，须由检察机关代表国家对犯罪嫌疑人追究其应负的刑事法律责任。
然而，若犯罪情节较为轻微，且犯罪嫌疑人和受害方均能够达成和解协议并履行相关承诺，那么检察院在经过审查后，或许会作出不予起诉的决定。
当然，在这个过程中，关于民事赔偿方面的事宜，仍然可以通过双方协商来寻求妥善解决方案。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第二百九十条
【和解协议的效力】对于达成和解协议的案件，公安机关可以向人民检察院提出从宽处理的建议。人民检察院可以向人民法院提出从宽处罚的建议；对于犯罪情节轻微，不需要判处刑罚的，可以作出不起诉的决定。人民法院可以依法对被告人从宽处罚。