依据我国《刑法》第二百三十九条的明确规定，所谓的绑架罪主要是指那些意图非法剥夺他人人身自由且以此来索要钱财，又或是将他人掳为人质的违法犯罪行为。
倘若犯罪分子在实施绑架行为的同时，还向第三方进行勒索财物，那么这种情况便可视为绑架罪的一种特殊表现形式。
根据该法律条款的具体内容，对于这类犯罪行为所应承担的刑事责任主要包括以下几个方面：首先，若绑架行为的情节相对轻微，那么犯罪分子将会面临五年以上十年以下有期徒刑的严厉惩罚，并且还需缴纳罚金。
其次，若犯罪分子在实施绑架过程中，对被绑架者实施了杀害行为，或者故意对其造成身体上的伤害，甚至导致其重伤乃致死亡，那么他们将面临着无期徒刑或者死刑的严厉制裁，同时还要被没收全部财产。
最后，如果犯罪分子以勒索财物为目的，对婴幼儿进行偷盗，那么也将按照上述两款的相关规定进行处罚。
因此，在绑架罪中，向第三方勒索财物的行为，将根据犯罪情节的轻重程度，接受相应的刑事处罚。
若情节较为轻微，可能会被判处五年以上十年以下有期徒刑；
而若情节严重，例如导致被绑架者死亡或重伤等恶劣后果，则可能会被判处无期徒刑或死刑。

《中华人民共和国刑法》第二百三十九条
以勒索财物为目的绑架他人的，或者绑架他人作为人质的，处十年以上有期徒刑或者无期徒刑，并处罚金或者没收财产；
情节较轻的，处五年以上十年以下有期徒刑，并处罚金。
犯前款罪，杀害被绑架人的，或者故意伤害被绑架人，致人重伤、死亡的，处无期徒刑或者死刑，并处没收财产。
以勒索财物为目的偷盗婴幼儿的，依照前两款的规定处罚。