只要公安机关对涉嫌绑架的犯罪行为做出了立案决定，接下来就需要着手进行详细且全面的侦查活动，例如针对关键目击者展开深入访谈、搜寻和收集相关证据以及进行必要的司法搜查等。对于不幸遭遇绑架行为的受害人家属而言，他们有权利并且也应该主动去公安机关了解案件进展情况以确定当前是否已经正式立案。在正式立案之后，根据法律规定，公安部门必须谨慎地将此事通知到对应的受害者或者其法定代理人，这也是公安机关应尽的法律责任与义务。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第一百一十二条
人民法院、人民检察院或者公安机关对于报案、控告、举报和自首的材料，应当按照管辖范围，迅速进行审查，认为有犯罪事实需要追究刑事责任的时候，应当立案；认为没有犯罪事实，或者犯罪事实显著轻微，不需要追究刑事责任的时候，不予立案，并且将不立案的原因通知控告人。控告人如果不服，可以申请复议。