若公安机关对某个人产生怀疑，并指控其涉及打架斗殴等各类刑事犯罪行为，依据我国《中华人民共和国刑事诉讼法》第八十五条之规定，公安部门在执行拘留任务时，务必要出示拘留证明文件，并须立刻将涉案人员送往当地的看守所予以羁押，整个过程至多延迟到24个小时。但若是因不可抗力导致无法顺利通知其家属，或者由于案件涉及未查明的危害国家安全犯罪或恐怖活动犯罪表现，需要进一步调查以获取更多信息，此时公安机关有权在拘留结束后的24小时内通知涉案人员的家属。一旦先前阻碍调查的因素消除，应立即告知涉案人员的家属。
根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第八十六条的规定，公安机关在执行拘留之后，必须在24小时之内对涉案人员进行审讯。
如若发现拘留不当，必须立即释放涉案人员，同时向其发放释放证明书。总而言之，对于涉及打架斗殴的刑事拘留程序，主要涵盖了出示拘留证明文件、及时羁押、通知家属、审讯涉案人员以及在发现拘留不当时的释放程序等环节。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第八十五条公安机关拘留人的时候，必须出示拘留证。
拘留后，应当立即将被拘留人送看守所羁押，至迟不得超过二十四小时。除无法通知或者涉嫌危害国家安全犯罪、恐怖活动犯罪通知可能有碍侦查的情形以外，应当在拘留后二十四小时以内，通知被拘留人的家属。有碍侦查的情形消失以后，应当立即通知被拘留人的家属。”
《中华人民共和国刑事诉讼法》第八十六条公安机关对被拘留的人，应当在拘留后的二十四小时以内进行讯问。在发现不应当拘留的时候，必须立即释放，发给释放证明。”