1、中级人民法院判处死刑的第一审案件，被告人不上诉的，应当由高级人民法院复核后，报请最高人民法院核准。高级人民法院不同意判处死刑的，可以提审或者发回重新审判。因此，中级人民法院判处死刑立即执行的第一审案件，被告不上诉的，应当由高级人民法院复核后，报请最高人民法院核准。
2、死刑案件判决后，必须经过复核程序核准。高级人民法院判处死刑的第一审案件被告人不上诉的，和判处死刑的第二审案件，都应当报请最高人民法院核准。高级人民法院判处死刑的第一审案件，被告人不上诉的和判处死刑的第二审案件，都应当报请最高人民法院核准。最高人民法院复核死刑案件，高级人民法院复核死刑缓期执行的案件，应当由审判员三人组成合议庭来进行。最高人民法院已授权省、自治区、直辖市高级人民法院和解放军军事法院行使部分案件的死刑复核权。对于死刑缓期执行的，既可由高级人民法院直接判决，也可由中级人民法院判决，然后报请高级人民法院核准。

《中华人民共和国刑法》第四十八条
死刑只适用于罪行极其严重的犯罪分子。对于应当判处死刑的犯罪分子，如果不是必须立即执行的，可以判处死刑同时宣告缓期二年执行。
死刑除依法由最高人民法院判决的以外，都应当报请最高人民法院核准。死刑缓期执行的，可以由高级人民法院判决或者核准。