对于敲诈勒索案件派出所通常会采取以下流程进行处理：
首先全面调查核实该案情确保其性质明确无误。
倘若经过缜密审查认定确属犯罪行为且符合相关规定的立案条件，便会立即启动立案程序，深度侦查以寻获罪证，依法严厉追究涉案人员的刑事责任。
若情况并非如此，即不构成犯罪，则会依据治安管理处罚法规对当事人处以相应的行政罚责。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第一百七十五条
公安机关接受案件后，经审查，认为有犯罪事实需要追究刑事责任，且属于自己管辖的，经县级以上公安机关负责人批准，予以立案；
认为没有犯罪事实，或者犯罪事实显著轻微不需要追究刑事责任，或者具有其他依法不追究刑事责任情形的，经县级以上公安机关负责人批准，不予立案。
对有控告人的案件，决定不予立案的，公安机关应当制作不予立案通知书，并在三日以内送达控告人。