在公安机关实施刑事拘留之后，申请取保候审并未设立明确的天数范围。
通常而言，只要符合取保候审的法定条件，便可以在侦查阶段随时提交相关申请。
而所谓的取保候审条件通常包含以下几点内容：
首先是可能被依法判处管制、拘役或独立适用于附加刑的犯罪嫌疑人；
其次则是可能被依法判处有期徒刑以上刑罚，且通过实施取保候审不会对其人身安全及社会秩序造成重大威胁的犯罪嫌疑人；
此外，对于那些患有严重疾病导致无法正常生活，孕期或哺乳期内的孕妇及婴幼儿等人群，如果实施取保候审不会造成任何威胁性后果的话，也为取保候审的适用对象之一；
最后，如果依据现有法律规定，案件已经历了一个完整的诉讼程序，但仍有相关事宜尚未处理完毕，为确保整个案件进程的顺利进行，需要采取取保候审措施的犯罪嫌疑人才能够申请取保候审。
在实际操作中，欲向办案部门提出取保候审请求时，必须以书面形式提交申请，同时还须提供相应担保人或者缴纳一定金额的保证金作为保障。
至于取保候审的申请能否获得批准，还需结合具体案件的具体情况来予以判断与裁决。