肇事逃逸案件中的当事人在面临刑事拘留之后能否获得保释，这需要依据案情具体分析而定。
通常情况下，只要满足相关法律规定的条件，便存在着获得保释的可能性。
比如，若犯罪情节轻微，可能被判处管制、拘役或单独适用附加刑的；
又或是可能被判处有期徒刑以上刑罚，且采取取保候审措施不会对社会安全构成威胁的。
然而，倘若肇事逃逸行为已经导致了严重的后果，那么申请保释的成功率将会相应地降低。