在刑事拘留期限届满达至第三十七日之后，确实存在获得取保候审的可能，然而这并不意味着必定能够顺利实现。
取保候审作为一项刑事法律上所规定的限制人身自由的强制措施，常常适用于以下几种情境：
首先，犯罪情节相对轻微且嫌疑人可能会被判处管制、拘役或独立适用附加刑；
其次，嫌疑人可能会被判处有期徒刑以上刑罚，但是采取取保候审并不会对社会公共安全造成明显威胁。
值得注意的是，若在刑事拘留期满后的第三十七天内，检察院未能批准逮捕，那么公安机关便可以酌情变更强制措施为取保候审。
然而，如果案件性质极度恶劣或者嫌疑人存在巨大的社会危害性等特殊情况，取保候审的申请很有可能无法得到批准。
因此，能否最终获得取保候审，需要细致评估案件的具体情况以及嫌疑人的个体特征等多项因素。
在此，我们建议您及时与负责处理此案的司法机构进行有效沟通，以便全面了解案件的最新动态及所有可能性选择。