在面临刑事拘留的第37个工作日之后，依然存在着申请取保候审的可能性，然而这需要根据具体的实际情况进行客观分析考量。
在某些特殊情况下，例如案件的实际情况出现了显著变化，诸如犯罪证据匮乏、罪行情节相对轻微以及涉案人员的身体状况不宜长时间被羁押等等，那么申请取保候审便具备了一定的可行性。
然而，倘若犯罪行为的性质恶劣，可能导致较重的刑罚处罚，那么申请取保候审的难度将会相应地增加。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
【取保候审的条件与执行】人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。