醉驾取保候审的相关流程通常由公安机关进行负责。
在涉及到嫌疑人和被告人为醉酒驾驶而遭到刑事拘留的案件中，他们的近亲属或者委托的律师有权向办理案件的公安机关提出书面的取保候审申请。
在此过程中，公安机关会根据案件的具体情况进行深入分析和评估，判定申请者是否满足取保候审的各项条件。
如果各项条件均得到符合，那么公安机关便会要求申请人提供相应的保证人，或者缴纳一定数额的保证金作为担保。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
(一)可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
(二)可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
(三)患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
(四)羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。