对于刑事案件中涉及到的被告和原告在拘留期间申请取保候审的时机并无明确法律规定。
通常情况下，一旦被告或原告在侦查阶段满足了取保候审的相关条件，便可向法院提出申请。
然而，在实践操作过程中，大多数被告和原告选择在拘留期限届满前的最后37天之内提交取保候审请求。
取保候审的条件较多，其中包括可能会被判处管制、拘役或者独立适用附加刑的犯罪嫌疑人；
以及可能会被判处有期徒刑以上刑罚，且采取取保候审措施不会对社会造成严重危害的被告人等等。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
【取保候审的条件与执行】人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。