在我国刑事法律体系中，关于取保候审的实施时间并未规定必须在犯罪嫌疑人被捕后的第37个自然日。
实际上，无论是在刑事案件诉讼程序中的哪个环节，只要满足相关特定要求，相关当事人均可提出取保候审的申请。
通常情况下，在公安机关进行侦查工作的初期阶段，便有机会提出此类申请；
而在检察院对犯罪嫌疑人是否应予逮捕进行审查的过程中，若决定不予批准逮捕，则有可能将其变更为取保候审的形式。
值得注意的是，根据相关法律法规，刑事拘留的最长期限为37个自然日，若在此期限内检察院未能作出批准逮捕的决定，公安机关则需依法变更对犯罪嫌疑人的强制措施，此时亦有可能采用取保候审的方式。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
【取保候审的条件与执行】人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。