在适用刑事诉讼法所规定的刑事拘留措施之后，犯罪嫌疑人家属可向公安机关或检察机关提交取保候审申请。
在此过程中，首先需要由家属依据相关法律条款，以书面形式制定一份详实的申请书，明确阐述其申请取保候审的充分理由，例如嫌疑犯所涉及的罪责相对轻微、最终有可能被判定为管制拘役的徒刑、又或是因健康因素导致无法正常履行刑事责任等。
接下来，家属还需提供合适的保证人选或者按照规定缴纳相应数额的保证金作为担保。
公安机关或检察机关将根据案件的具体情况以及犯罪嫌疑人的行为表现等多方面因素进行全面评估，并据此决定是否批准取保候审申请。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
【取保候审的条件与执行】人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。