在刑事案件的调查阶段，若有必要申请办理保释手续以保障被告人基本权利，应向负责侦办此案的相关机构提交书面申请。
一般而言，这意味着需向公安部门或人民检察院递交申请文件。
在申请过程中，必须详细阐述申请保释的具体原因，例如犯罪嫌疑人患有严重疾病导致生活无法自理，或是孕妇或正处于哺乳期的母亲等特殊情况。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
【取保候审的条件与执行】人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。