在犯罪嫌疑人或被告人身陷囹圄之后，向司法部门提出保释申请并无明确的时限规定。
然而，在整个刑事审判过程中，包括犯罪嫌疑人、被告人以及他们的法定代理人、近亲属或是辩护人在内的相关人员均有权利提出保释申请。
一般而言，当公安机关对已被拘留的人员，若认为其需要进行逮捕，应在拘留期限结束前的三日内，向人民检察院提交审查批准的请求。
在某些特定情况下，这一期限可延长一天至四天。
而对于那些流窜作案、多次作案甚至是结伙作案的重大嫌疑分子，公安机关向人民检察院提交审查批准的时间则可延长至三十日。
人民检察院在收到公安机关提交的批准逮捕申请书后，应在七日内做出是否批准逮捕的决定。
如果人民检察院未能批准逮捕，公安机关应在接获通知后立即释放相关人员，同时将执行情况及时告知人民检察院。
对于那些需要进一步侦查且符合保释或监视居住条件的案件，应依法采取相应措施。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
【取保候审的条件与执行】人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。