刑事拘留期限届满之日起至第三十七日，通常会有两种可能的状况发生。
首先是，若人民检察院批准了对犯罪嫌疑人的逮捕申请，那么公安机关必须严格按照法律规定执行相应的逮捕措施；
其次，倘若人民检察院未批准逮捕，公安机关就应在收到通知后立即释放该名犯罪嫌疑人，并将实际执行情况及时向人民检察院进行通报。
此外，对于那些仍需进一步侦查且符合取保候审或监视居住条件的案件，公安机关应依法采取相应的强制措施，如取保候审或监视居住等。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十一条
【提请批捕和审查批捕的时限】公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。
对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。
人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。人民检察院不批准逮捕的，公安机关应当在接到通知后立即释放，并且将执行情况及时通知人民检察院。对于需要继续侦查，并且符合取保候审、监视居住条件的，依法取保候审或者监视居住。