在刑事诉讼过程中的取保候审权通常是由公安机关、人民检察院或者人民法院行使和批准的。
特别需要指出的是，在公安机关负责立案侦查的刑事案件中，取保候审的决定通常是由公安机关来进行和执行的。
而公安机关如果发现犯罪嫌疑人或被告人符合取保候审的相关条件的话，则会依照法定程序来依法作出取保候审的决定。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
【取保候审的条件与执行】人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。