在当事人遭到刑事拘留之后，关于其向司法机构申请取保候审的时限，并无具体的天数规定或限制。
然而，决定是否批准取保候审，关键在于申办人能否满足相关法律规定的各项申请条件。
通常来讲，在嫌疑人遭受刑事拘留之后，公安机关、人民检察院以及人民法院均可根据各自职责范围内的案件进行侦查、审查起诉和审判环节的工作中，对当事人提出的取保候审申请作出相应的决定。
在做出决定之前，应全面权衡犯罪嫌疑人、被告人的社会危害性，案件的情节、性质，可能判处刑罚的轻重程度，犯罪嫌疑人、被告人的经济状况，以及当地的社会环境等多方面因素。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
【取保候审的条件与执行】人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。